ALCUNE LEZIONI DI MATEMATICA DEL TERZO SUPERIORE

video IN LAVORAZIONE con la spiegazione di qualche lezione e con alcuni esercizi



DIVISIONE TRA POLINOMI

Un polinomio A è divisibile per un polinomio B ( ≠ 0 ) se esiste un polinomio Q (quoziente) che, moltiplicato B, da A:      A : B = Q    ⇔    Q · B = A
Osserva che il polinomio A deve avere grado ≥ B

Se un polinimio non è divisibile la divisione porta con il resto R (divisione euclidea )
     A : B = Q + R

La procedura è simile alla divisione tra numeri:

  1. si ordinano i polinomi in modo decrescente e completo
  2. divido il termine di grado massimo di A con quello di B
  3. moltiplico il monomio trovato per B e gli cambio segno
  4. Sottraggo il risultato ad A
  5. se il risultato ha grado maggiore o uguale a B ripeto i passaggi sopra
  6. Altrimenti il risultato è il resto

La regola di Ruffini si applica quando B è un binomio di primo grado.
Si lavora solo con i coefficienti (vedi figura) :

  1. si mettono i coefficienti di A in modo decrescente e completo
  2. Metto a sinistra l'opposto del termine noto di B
  3. abbasso il primo coeffociente di A e lo moltiplico per l'opposto del termine noto di B
  4. sottraggo tale numero al secondo coefficiente di A e lo riporto sotto
  5. ripeto la procedura fino alla fine
  6. i coefficienti sono i coefficienti di Q tranne l'ultimo che è il resto

Il teorema del resto determina il resto senza fare la divisione, quando il divisore è nella forma    (x-a).

Il valore del resto (che è un numero, perchè è un polinomio di grado zero) si ottiene sostituendo alla x il numero a.

Se il resto porta 0. Il polinomio è divisibile per (x-a).

ESERCIZI Esercizi con divisione tra polinomi
Esercizi con Ruffini


EQUAZIONI DI SECONDO GRADO


Una equazione di secondo grado può essere scritta come    \(ax^2 + bx + c = 0\)    (a ≠ 0) chiamata in forma canonica o normale.

  • Se b = 0 e c = 0 si dice monomia e le soluzioni sono:    x1 ; x2 = 0
  • Se b = 0 e c ≠ 0 si dice pura e le soluzioni sono:
    • \(x_1 ; x_2=±\sqrt{-\frac{c}{a}}\)    quando -c/a ≥ 0
    • nessuna    quando -c/a < 0
  • Se b ≠ 0 e c = 0 si dice spuria e le soluzioni sono: x1; = 0 e x2 = - b/a

  • Se b ≠ 0 e c ≠ 0 si dice completa e le soluzioni sono date dalla formula: $$ x_1,x_2 =\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$




    • Il termine sotto radice è chiamato discriminante    Δ = \(x^2 - 4ac\) e, in base al suo valore, possiamo avere:

    Nel caso che b sia pari possiamo scrivere b = 2β.
    Sostituendo tale valore nella formula completa, otteniamo la formula ridotta, che semplifica molto i calcoli: $$ x_1,x_2 =\frac{-β\pm\sqrt{β^2-ac}}{a} $$

    EQUAZIONI BIQUADRATICHE

  • Le equazioni biquadratiche sono particolari equazioni che, facendo una opportuna sostituzione di variabile diventano del tipo:    \(ay^2 + by + c = 0\),    dove y è la nuova variabile

    Si trovano quindi le soluzioni y1 e y2 e si pongono uguali al valore sostituito.
    Si trovano infine le soluzioni nella variabile iniziale .

    • ESERCIZI Equazioni di secondo grado pure
    Equazioni di secondo grado spurie
    Equazioni di secondo grado complete
    Equazioni di secondo grado complete con formula ridotta
    Equazioni di secondo grado frazionarie
    Equazioni di secondo grado letterarie

    ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA SECONDA PARTE

    TRASLAZIONE DI UN GRAFICO

    Un grafico di una equazione si può scrivere come \(y=f(x)\)

    Volendolo spostare verso destra di   x0, basta sostituire alla   x   il termine    \(x-x_0\)

    Volendolo spostare verso l'alto di   y0, basta sostituire alla y   il termine    \(y-y_0\)

    Volendolo spostare di entrambi, l'equazione diventa \(y-y_0=f(x-x_0)\)

    EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA

    L'equazione di una circonferenza centrata sull'origine è    \(x^2+y^2=r^2\)

    Traslando il centro verso destra di   xc , e in alto di   yc otteniamo la formula canonica:    \(x^2+y^2+αx+βy+γ=0\)

    Dove:    \(x_c=-\frac{α}{2}\)    \(y_c=-\frac{β}{2}\)    \(r=\sqrt{x_c^2+y_c^2-γ}\)


    ESERCIZI
    ESERCIZIO 1:
    Determinare l'equazione della circonferenza passante per i punti A(2; 3), B(4; 1), C(2;-1).       SVOLGIMENTO

    ESERCIZIO 2:
    Determinare l'equazione della circonferenza di raggio 5 e il centro che è sul sunto di intersezione delle rette x+y-7=0 e 2x-3y+6=0 C(2;-1).       SVOLGIMENTO

    ESERCIZIO 3:
    Determinare l'equazione della circonferenza di cui un diametro è il segmento compreso tra i punti A(-3;+1), B(+5;-2).       SVOLGIMENTO

    ESERCIZIO 4:
    Scrivere le equazioni delle rette passanti per l'origine e tangenti alla circonferenza di equazione
    x2 + y2 -2x -4y +1 = 0.       SVOLGIMENTO

    LA PARABOLA


    La parabola è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e una retta detta direttrice.

    Se il fuoco ha coordinate     F ( 0;+m)     e la direttrice equazione     y = - m     si ottiene la parabola con vertice nell'origine:     \(y=ax^2\)     con     \(m=\frac{1}{4a}\)

    In questo caso l'asse delle ordinate è un asse di simmetria.

    Se trasliamo la parabola del vettore     V ( xV; yV)     si ottiene l' equazione generale della parabola:     \(y=ax^2 +bx +c\)

    Detto \(Δ = b^2-4ac\)     abbiamo:

  • Vertice: \(V = (-\frac{b}{2a};-\frac{Δ}{4a})\)
  • Asse di simmetria: \(x = -\frac{b}{2a}\)
  • Fuoco: \(F = (-\frac{b}{2a};\frac{1-Δ}{4a})\)
  • Direttrice: \(y = -\frac{1+Δ}{4a}\)


    • SIGNIFICATO DEI COEFFICIENTI DELL'EQUAZIONE DELLA PARABOLA

  • a   : Indica quanto la parabola è stretta; se a > 0 il vertice è il punto più basso.
  • b   : Indica la posizione dell'asse di simmetria: Inoltre, se a·b > 0 è a sinistra dell'asse delle ordinate
  • c   : indica il punto di intersezione con l'asse delle ordinate

    • LA PARABOLA E L'EQUAZIONE DI SECONDO GRADO

    Una equazione di secondo grado equivale al sistema tra la parabola e l'asse delle ascisse.
    Le soluzioni sono i punti di intersezione della parabola con l'asse x.
    Le soluzioni possono essere:

  • 2: quando Δ > 0
  • 1: quando Δ = 0
  • nessuna: quando Δ < 0

    • ESERCIZI
    ESERCIZIO 1:
    Determinare fuoco, vertice, asse di simmetria e direttrice della parabola di equazione y= - x2+7x-6 . SVOLGIMENTO


    ESERCIZIO 2:
    Determinare fuoco, vertice, asse di simmetria, direttrice e disegnare la parabola di equazione y= x2-6x+5 . SVOLGIMENTO


    ESERCIZIO 3:
    Determinare l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y passante per i punti: A(1;0), B(5;0), C(3;-3) SVOLGIMENTO


    ESERCIZIO 4:
    Determinare i coefficienti della parabola con asse parallelo all'asse y passante per i punti: A(1;1), B(2;3), C(-1;-9) SVOLGIMENTO


    ESERCIZIO 5:
    Rappresenta graficamente la parabola di equazione y=-x2+5x-3 soluzione dell'esercizio precedente e verificane i punti. SVOLGIMENTO


    ESERCIZIO 6:
    Determinare l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y passante per i punti: A(1;0), B(0;-5), C(2;3) SVOLGIMENTO


    ESERCIZIO 7:
    Rappresenta graficamente la parabola di equazione y=-x2+6x-5 soluzione dell'esercizio precedente e verificane i punti. SVOLGIMENTO


    ESERCIZIO 8:
    Determinare i coefficienti della parabola con asse parallelo all'asse y passante per i punti: A(0;-1), B(-2;-3), C(-4;-1) SVOLGIMENTO


    ESERCIZIO 9:
    Rappresenta graficamente la parabola di equazione y=-(1/2)x2+2x-1 soluzione dell'esercizio precedente e verificane i punti. SVOLGIMENTO


    ESERCIZIO 10:
    Data la parabola di equazione y=x2+ 4 x + 6, determina le equazioni delle rette passanti per P(-4;5) e tangenti alla parabola. SVOLGIMENTO


    ESERCIZIO 11:
    Si determinino le equazioni delle parabole passanti per l'origine e tangenti alle rette di equazione 2x + 2y + 1 = 0 2x - y - 8 = 0. SVOLGIMENTO

    DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO E SISTEMI DI DISEQUAZIONI

    Una disequazione di secondo grado si risolve ponendo il secondo membro uguale a zero.
    Così è come avere un sistema tra una parabola y = ax2 + bx + c e la retta y = 0, che è l'asse delle ascisse.
    La soluzione è data o graficamente (vedi tra le due figure per quali valori di x una figura è sopra l'altra) oppure trovando le soluzioni dell'equazione di secondo grado associata ax2 + bx + c = 0 , da cui, se a > 0 derivano i seguenti casi:

  • Quando Δ > 0 la parabola incontra l'ascissa in due punti (x1 e x2) e il vertice è sotto l'ascissa mentre i lati sono sopra ( con a < 0 è il contrario)
  • Quando Δ = 0 la parabola è tutta sopra l'ascissa tranne il vertice ( con a < 0 è il contrario)
  • Quando Δ < 0 la parabola è tutta sopra l'ascissa, ( con a < 0 è tutta sotto)
    • .
    In alternativa si può risolvere la disequazione facendo una scomposizione in fattori e studiando il segno del prodotto al variare di x.

    ESERCIZI Esercizi sulle disequazioni di secondo grado


    DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO

    Nel caso di disequazioni di grado superiore al secondo si segue la seguente procedura:

    1. Si portano tutti i termini al primo membro
    2. Si scompone in fattori il polinomio
    3. Si studiano i segni dei vari fattori ( ponendoli   > 0   o   ≥ 0 ) e si riportano sotto l'ascissa
    4. Si fa lo studio del segno del prodotto al variare di x
    5. Si vede il verso della disequazione (solo qui andiamo a vederlo!! ) e si scrivono le soluzioni

    DISEQUAZIONI FRAZIONARIE

    Una disequazione frazionaria si risolve innanzitutto studiando:

    1. Si portano tutti i termini al primo membro in una unica frazione
    2. si trovano le x che annullano il denominatore (le condizioni di esistenza)
    3. Si scompone in fattori il numeratore e il denominatore
    4. Si studiano i segni dei vari fattori ( ponendoli   > 0   o   ≥ 0 ) e si riportano sotto l'ascissa
    5. Si fa lo studio del segno del prodotto al variare di x
    6. Si vede il verso della disequazione (solo qui andiamo a vederlo!! ) e si scrivono le soluzioni

    ESERCIZI Esercizi sulle disequazioni frazionarie


    SISTEMI DI DISEQUAZIONI

    Per risolvere un sistema di disequazioni si svolgono i seguenti passi:

    1. Si risolve singolarmente ogni disequazione
    2. Si portano sulla retta orientata tuttele soluzioni
    3. Si selezionano le soluzioni comuni


    ESERCIZI Esercizi sui sistemi di disequazioni